Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta sử dụng bất đẳng thức tam giác. Bất đẳng thức tam giác cho biết rằng tổng độ dài của ba đường trung tuyến của một tam giác luôn lớn hơn hoặc bằng bình phương độ dài cạnh tương ứng. Vì vậy, ta có:

ama + bmb + cmc ≥ (ma + mb + mc)²/3

Theo định lý đường trung tuyến, ta biết rằng ma + mb + mc = 3/2(a + b + c). Thay vào biểu thức trên, ta có:

ama + bmb + cmc ≥ (3/2(a + b + c))²/3

Simplifying the expression, we get:

ama + bmb + cmc ≥ 3/4(a + b + c)²

Để chứng minh rằng ama + bmb + cmc ≥ √32, ta cần chứng minh rằng 3/4(a + b + c)² ≥ √32. Tuy nhiên, để chứng minh điều này, cần thêm thông tin về giá trị của a, b, c.

1.

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{b+c}\overrightarrow{BC}=\dfrac{\left(b+c\right)\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{BC}}{b+c}=\dfrac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}\)

\(\Rightarrow AD^2=\dfrac{\left(b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}\right)^2}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{2b^2c^2+2b^2c^2.cosA}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{2b^2c^2\left(1+cos\alpha\right)}{\left(b+c\right)^2}\)

\(\Rightarrow AD=\dfrac{bc\sqrt{2+2cos\alpha}}{b+c}\)

2.

\(MA^2+MB^2+MC^2=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2\)

\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\)

\(=3MG^2+\dfrac{4}{9}\left(AM^2+MB^2+MC^2\right)\)

\(=3MG^2+\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}+\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}\right)\)

\(=3MG^2+\dfrac{4}{9}.\dfrac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=3MG^2+\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

3.

Hình vẽ:

Đặt các vecto đơn vị \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) cùng hướng \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}\)

Khi đó \(\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)^2=3-2\left(cosA+cosB+cosC\right)=3-2P\)

\(\Rightarrow3-2P=\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)^2\ge0\Rightarrow P\le\dfrac{3}{2}\)

\(maxP=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều

Chà bạn ghi đề sai làm mãi không được

Đề đúng là: \(m_a^2+m_b^2+m_c^2=3\sqrt{3}S\)

Thay công thức trung tuyến vào ta được:

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\sqrt{3}S\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=4\sqrt{3}S\)

Ta có:

\(VP=4\sqrt{3}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(VP\le4\sqrt{3}.\sqrt{p\left(\frac{p-a+p-b+p-c}{3}\right)^3}=4\sqrt{3}\sqrt{p\left(\frac{3p-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3}=\frac{4}{3}p^2\)

\(VT\le\frac{4}{3}\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\le a^2+b^2+c^2=VT\)

Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\) hay tam giác ABC đều

bài này khó giúp hộ em với

Đề bài sai

Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)

Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\Rightarrow xyz=1\)

Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:

\(P=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)

\(P=\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(y^2+z^2\right)+\left(z^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(z^2+x^2\right)+\left(x^2+1\right)+2}\)

\(P\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{xz\left(xy+y+1\right)}+\dfrac{x}{x\left(yz+z+1\right)}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{x.xyz+xyz+xz}+\dfrac{x}{xyz+xz+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xz}{x+1+xz}+\dfrac{x}{1+xz+1}+\dfrac{1}{xz+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

Có MA+MB > AB

MB+MC > BC             Bất đẳng thức trong tam giác

MA + MC > AC

a: Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{ma+nc}{mb+nd}=\dfrac{mbk+ndk}{mb+nd}=k\)

\(\dfrac{pa+qc}{pb+qd}=\dfrac{pbk+qdk}{pb+qd}=k\)

Do đó: \(\dfrac{ma+nc}{mb+nd}=\dfrac{pa+qc}{pb+qd}\)